math-24-06-2003

НАЦИОНАЛЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА ЗА ПРИЕМ В ПРОФИЛИРАНИ ГИМНАЗИИ, ПРОФИЛИРАНИ ПАРАЛЕЛКИ НА СОУ И ПРОФЕСИОНАЛНИ ГИМНАЗИИ СЛЕД 7. КЛАС - 24 юни 2003г.

Задача 1.

а) Да се реши неравенството (x - 2)² + x(3 - x) + 4x > 1

и да се намерят целите числа от интервала (-6; 2], които са решения на неравенството.

б) Да се реши уравнението

където a е параметър, и да се намерят стойностите на a, за които корените на уравнението са решения и на неравенството |x|>

Задача 2.

Даден е остроъгълен триъгълник АВС, в който

АCВ = 45° и ВP (P

AC) е височина.

а) Ако AВ = 2АP, да се намерят ъглите на АВС и да се сравнят отсечките AP и ВL, където L е пресечна точка на ъглополовящата на ВAP с височината ВP.

б) През върха С на

АВС е построена височината CD (D

AB), която пресича височината ВP в точка H. Да се докаже, че AP = PH. Да се намери

DCB, ако ВC = 2DP.

ОТГОВОРИ

Задача 1.

а) 0, 1, 2

б)

Задача 2.

а) Ъглите на триъгълника са: 60°, 75° и 45°. AP < BL.

б) DCB = 15°

ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ

Не даваме 100% гаранция, че оценката Ви ще е същата!
Ако допуснете някъде грешка, по-нататък решението вече е невярно.

Разработката ни е с цел да се изчисли електронно оценката.
Отбележете в кутията вляво ако сте извършили съответните или подобни действия и сте стигнали до извода. Изчислената оценка може да видите в края на страницата.

Задача 1.

a) (x - 2)² + x(3 - x) + 4x > 1

последователно разлагаме

(x - 2)² = x² - 4x + 4

x(3 - x) = 3x - x²

заместваме в неравенството

x² - 4x + 4 + 3x - x² + 4x > 1

унищожаваме и получаваме

3x > -3

решенията на неравенството са

x > -1

Цели числа в интервала (-6; 2] са: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1 и 2.

От тях по-големи от -1 са само 0, 1 и 2.

търсените числа са 0, 1 и 2

б)

последователно разлагаме

(1 - 2x)³ = 1 - 6x + 12x² - 8x³

4x² (2x - 3) = 8x³ - 12x²

Заместваме в уравнението

2 - 12x = 4a² + 1 - 13x - 2ax

13x - 12x + 2ax = 4a² + 1- 2

x + 2ax = 4a² - 1

x(1 + 2a) = 4a² - 1

1 + 2a = 0

I. a = -

0x = 0

всяко x е решение

Решаваме неравенството

|x|>

-x > x < -

x >

решенията са в интервала

т.е. не всяко решение на уравнението е решение на неравенството

a = - не е решение

II. a -

x(1 + 2a) = 4a² - 1

x(1 + 2a) = (2a - 1)(2a + 1)

x = 2a - 1

Заместваме в неравенството и получаваме

|2a - 1|>

Решаваме неравенствата

- (2a - 1) > -2a + 1 > -2a > - 2a < a <

2a - 1 > 2a > a > и решенията са

От т. I имаме, че a = - не е решение

Тогава решението е


Задача 2.
a)	Разглеждаме BPC PCB = 45° по усл. CPB = 90° PBC = 45° BPC е правоъгълен и равнобедрен (4) В правоъгълния ABP имаме по усл. че AB = 2AP PBA = 30° (1) PAB = 60° = CAB
Тогава CBA = CBP +PBA = 45° + 30° = 75° CAB = 60° и CBA = 75° AL е ъглополовяща на CAB, т.е. PAL = LAB = 30° В ABL от (1) LBA = 30° , т.е. LAB = LBA = 30° ABL е равнобедрен и AL = BL (2) AL е хипотенуза в правоъгълния ALP AL > AP (3) От (2) и (3) следва, че BL > AP.

б)	Ще докажем, че APB HPC Нека CAB = . CPH = APB = 90° BP = CP от (4) ABP = PCH = 90° - APB HPC От еднаквостта на триъгълниците AP = PH
Нека т. М е среда на CB. Построяваме PM и DM. В правоъгълния CPB PM е медиана към хипотенузата CB PM = CM = MB (5) Аналогично за DBC DM = CM = MB (6) По условие ВC = 2DP. CM = MB = DP (7) От (5), (6) и (7) PM = DM = DP т.е. PMD е равностранен В BPC PM е медиана, височина и ъглополовяща. CMP = 90° DMB = 180° - (CMP + PMD ) = 180° - (90° + 60°) = 180° - 150° = 30° От (6) следва, че DMB е равнобедрен. Тогава DBM = (180° - DMB ) = (180° - 30°) = 150° = 75° В правоъгълния триъгълник CDB DCB = 90° - DBM = 90° - 75° = 15° DCB = 15°

Оценка

При изработването на програмата сме използвали указанията на Министерството на образованието и науката за оценяване на писмените работи.

За мнения, предложения и препоръки, моля да ни Пишете.
Ако имате и други въпроси, може да оставите коментар тук.