Make your own free website on Tripod.com

НАЦИОНАЛЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА ЗА ПРИЕМ В ПРОФИЛИРАНИ ГИМНАЗИИ, ПРОФИЛИРАНИ ПАРАЛЕЛКИ НА СОУ И ПРОФЕСИОНАЛНИ ГИМНАЗИИ СЛЕД 7. КЛАС - 24 юни 2003г.

 

Задача 1.

а) Да се реши неравенството (x - 2)2 + x(3 - x) + 4x > 1
и да се намерят целите числа от интервала (-6; 2], които са решения на неравенството.

б) Да се реши уравнението

където a е параметър, и да се намерят стойностите на a, за които корените на уравнението са решения и на неравенството |x|>
Задача 2.
Даден е остроъгълен триъгълник АВС, в който АCВ = 45° и ВP (P AC) е височина.

а) Ако = 2АP, да се намерят ъглите на АВС и да се сравнят отсечките AP и ВL, където L е пресечна точка на ъглополовящата на ВAP с височината ВP.

б) През върха С на АВС е построена височината CD (D AB), която пресича височината ВP в точка H. Да се докаже, че AP = PH. Да се намери DCB, ако ВC = 2DP.


 

ОТГОВОРИ

 

Задача 1.

а) 0, 1, 2

б)

Задача 2.

а) Ъглите на триъгълника са: 60°, 75° и 45°. AP < BL.

б) DCB = 15°

 

 
   
 

ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ

  Не даваме 100% гаранция, че оценката Ви ще е същата!
Ако допуснете някъде грешка, по-нататък решението вече е невярно.
  Разработката ни е с цел да се изчисли електронно оценката.
Отбележете в кутията вляво ако сте извършили съответните или подобни действия и сте стигнали до извода. Изчислената оценка може да видите в края на страницата.
 

Задача 1.

a) (x - 2)2 + x(3 - x) + 4x > 1

последователно разлагаме

(x - 2)2 = x2 - 4x + 4

x(3 - x) = 3x - x2

заместваме в неравенството

x2 - 4x + 4 + 3x - x2 + 4x > 1

унищожаваме и получаваме

3x > -3

решенията на неравенството са

x > -1

Цели числа в интервала (-6; 2] са: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1 и 2.

От тях по-големи от -1 са само 0, 1 и 2.

търсените числа са 0, 1 и 2

б)

последователно разлагаме

(1 - 2x)3 = 1 - 6x + 12x2 - 8x3

4x2 (2x - 3) = 8x3 - 12x2

Заместваме в уравнението

2 - 12x = 4a2 + 1 - 13x - 2ax

13x - 12x + 2ax = 4a2 + 1- 2

x + 2ax = 4a2 - 1

x(1 + 2a) = 4a2 - 1

1 + 2a = 0

I. a = -

0x = 0

всяко x е решение

Решаваме неравенството

|x|>

-x > x < -

x >

решенията са в интервала

т.е. не всяко решение на уравнението е решение на неравенството

a = - не е решение

II. a -

x(1 + 2a) = 4a2 - 1

x(1 + 2a) = (2a - 1)(2a + 1)

x = 2a - 1

Заместваме в неравенството и получаваме

|2a - 1|>

Решаваме неравенствата

- (2a - 1) > -2a + 1 > -2a > - 2a < a <

2a - 1 > 2a > a > и решенията са

От т. I имаме, че a = - не е решение

Тогава решението е

Задача 2.

a)

Разглеждаме BPC

PCB = 45° по усл.
CPB = 90°
PBC = 45°

BPC е правоъгълен и равнобедрен (4)

В правоъгълния ABP имаме по усл. че AB = 2AP

PBA = 30° (1)

PAB = 60° = CAB

Тогава CBA = CBP +PBA = 45° + 30° = 75°

CAB = 60° и CBA = 75°

AL е ъглополовяща на CAB, т.е. PAL = LAB = 30°

В ABL от (1) LBA = 30° , т.е. LAB = LBA = 30°

ABL е равнобедрен

и AL = BL (2)

AL е хипотенуза в правоъгълния ALP

AL > AP (3)

От (2) и (3) следва, че BL > AP.


б)

Ще докажем, че APB HPC

Нека CAB = .

CPH = APB = 90°
BP = CP от (4)
ABP = PCH = 90° -

APB HPC

От еднаквостта на триъгълниците

AP = PH

Нека т. М е среда на CB.

Построяваме PM и DM.

В правоъгълния CPB PM е медиана към хипотенузата CB

PM = CM = MB (5)

Аналогично за DBC

DM = CM = MB (6)

По условие ВC = 2DP. CM = MB = DP (7)

От (5), (6) и (7) PM = DM = DP

т.е. PMD е равностранен

В BPC PM е медиана, височина и ъглополовяща.

CMP = 90°

DMB = 180° - (CMP + PMD ) = 180° - (90° + 60°) = 180° - 150° = 30°

От (6) следва, че DMB е равнобедрен.

Тогава DBM = (180° - DMB ) = (180° - 30°) = 150° = 75°

В правоъгълния триъгълник CDB

DCB = 90° - DBM = 90° - 75° = 15°

DCB = 15°

 

Оценка


 

При изработването на програмата сме използвали указанията на Министерството на образованието и науката за оценяване на писмените работи.

първа страница

 
За мнения, предложения и препоръки, моля да ни Пишете.
Ако имате и други въпроси, може да оставите коментар тук.
 

Copyright©2003 А.M.S. All Rights Reserved.