а) Да се реши неравенството x(3 - x)² - (x - 2)³ > - 1 .

Да се намери най-голямото му цяло решение.

Да се намерят стойностите на параметъра a, за които това неравенство и неравенството x > 1- a имат общи решения, сред които няма цяло число.

б) В 9 часа от пристанище A за пристанище B на една река тръгва кораб, който изминава разстоянието между двете пристанища за 5 часа. В 10 часа (същия ден) от B за A тръгва друг кораб, който изминава разстоянието до A за 6 часа и 40 минути.

Корабите се срещнали в пристанище C на реката, направили престой от 15 минути и всеки продължил по курса си. Колко часа е било в момента, когато след тази среща, разстоянието между корабите е станало 25% от разстоянието между A и B?

В ромб ABCD е построена ъглополовящата DM (M AB) на ADB.

а) Ако DCA = ADM и AD = 6 см, да се намерят мярката на ABС и лицето на ромба.

б) Ако A < 60° и N е точка от страната BC, за която BN = AM, да се докаже, че AМ > BМ и DN > DM.

а) Да се решат уравнението

(x - 2)³ - (x - 2)(x² + 2x + 4) = (3x - 2)(3 - 2x)

и неравенството

и да се намери най-голямото цяло решение на неравенството.

б) Един басейн с вместимост 244 куб. м е празен и се пълни от две тръби. За 2 часа първата тръба влива 20 куб. м вода повече, отколкото втората тръба за 1 час. До напълването на басейна първата тръба текла 4 часа, а втората – с 20% повече време.

По колко кубически метра вода е вляла всяка от тръбите?

Външно за остроъгълния триъгълник ABC са построени равнобедрените триъгълници PAС и QBC.

а) Нека PAС = QBС = 90°, а K и Т са точки от правата AВ, за които PKA = QTB = 90° и PK = AС.

Да се намери мярката на CAB и да се докаже, че BT = CH, където CH е височина в ABC.

б) Нека AC = BC, PСA = QСB = 90° и L е точка от отсечката AP, за която правата LC пресича отсечката BQ.

Да се докаже, че CL < CA и QLB > 45°.