НАЦИОНАЛЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА ЗА ПРИЕМ В ЕЛИТНИ УЧИЛИЩА СЛЕД 7. КЛАС - 25 юни 2001г.

Оригиналният текст и кратки решения на темата са публикувани на 25.06.2001г. от МОН

 

Задача 1.
Да се реши:
а) уравнението
б) неравенството

и да се намерят стойностите на параметъра a, за които корените на уравнението |3a - 2x| = 2 са решения на неравенството.
Задача 2.
Диагоналите на ромба АВСD, в който ВАD < 90°, се пресичат в точка О.
а) Ъглополовящата на САD образува с диагонала ВD ъгъл, равен на 75°. Да се намерят ъглите на ромба и периметъра му, ако ВО = 3 сm.
б) Височината DE (Е АВ) на ромба пресича диагонала АС в точка F. Точките М и N са средите съответно на отсечките АВ и DF. Да се докаже, че правите ОМ и ОN пресичат страните на ромба в точки, които са върхове на ромб.


 

ОТГОВОРИ
 

Задача 1.

а) x = -1

б) и

Задача 2.

а) ВАD = ВСD = 60°, АВС = АDС = 120°; P = 24 сm

 
   
  РЕШЕНИЯ
  Разработката ни е с цел да се изчисли електронно оценката. Отбележете в кутията вляво ако сте извършили съответните действия. Изчислената оценка може да видите в края на страницата.
 

 

Задача 1.
a)

последователно разлагаме

(2x - 1)2 = 4x2 - 4x + 1

- (x + )2 = - x2 - x -

3x(x - 1) = 3x2 - 3x

заместваме

4x2 - 4x + 1 - x2 - x - = 3x2 - 3x + 2,75

3x2 - 5x + 0,75 = 3x2 - 3x + 2,75

получаваме

-2x = 2

Решение: x = -1

б)

разлагаме

( x - 1)3 = x3 - 3x2 + 3x - 1

( x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1

 3(1 - 2x2) - 3x < - 6x2 - 2

3 - 6x2 - 3x < - 6x2 - 2

- 3x < -5

3x > 5

Решение:

Уравнението |3a - 2x| = 2 е равносилно на 3a - 2x = 2 или 3a - 2x = -2

Корените им са:

  и

Те са решения на неравенството , когато

 

Решаваме системата неравенства и получаваме

и

следователно решенията са:

Задача 2.
a)

Нека т. Т е пресечена точка на ъглополовящата на CAD и диагонала BD. Ъгълът, който образува ъглополовящата АТ с диагонала ВD e АТB = 75°, тъй като АТО + OAT = 90° и ATD > 90° (черт. а).
ОАТ = 90° - АТО = 90° - 75° = 15°

OAD = ТАD + ОАТ = 2 ОАТ = 2.15° = 30°

Тогава ВАD = 60°. От свойството на ромба получаваме ВАD = ВСD = 60°

и съответно АВС =АDС = 120°.

Триъгълникът AВD e равностранен (АВ = АD, ВАD =60°). Тогава
АВ = АD = 2ОВ = 2.3 = 6 сm.

Периметърът на ромба е 4.6 = 24 сm.



б)

Нека правите ОМ и ОN пресичат страните на ромба в точки М, P, Q, R (черт. б).
АМО CQO
( АО = ОС,
АОМ = СОQ - връхни,
МАО = ОСQ - кръстни)
МО = ОQ (1).

Аналогично от АОR COР
ОR = OP (2).

От (1) и (2) МРQR е успоредник (3).

В правоъгълния ABO означаваме
ВАО = , АВО = . + = 90°.
Триъгълниците АВО и АЕF имат по два равни ъгъла
(АЕF = AOB = 90°, МАО = ВАО = , следователно и третите им ъгли са равни,
т.е.АFE = АВО = .
В правоъгълните триъгълници АВО и FOD ОМ и ОN са съответно медиани. Тогава АМО и FON са равнобедрени (АМ =ОМ и NF = NO) и АОМ = и FОN = .
МОN = АОМ + FОN = + = 90°,
т.е. MQ PR (4).

От (3) и (4) следва, че МРQR е ромб.

Оценка

 

първа страница

 
За мнения, предложения и препоръки, моля да ни Пишете.
Ако имате и други въпроси, може да оставите коментар тук.
 
 
 
 
©Copyright 2001г. А. M. S. All rights reserved..